La dimostrazione procede per assurdo, ossia ipotizzando l’opposto di ciò che si intende dimostrare. Supponiamo quindi per assurdo che i numeri primi siano finiti.

In tal caso esisterà un numero primo N che sarà il più grande tra i numeri primi finiti.
Consideriamo allora il prodotto (moltiplicazione) di tutti i numeri primi P = 2.3.5.7.11.13 … N, e aggiungiamo al risultato il valore 1, ottenendo così P + 1.

P + 1 non può avere 2 per divisore essendo di 1 maggiore di P che è multiplo di 2.
P + 1 non può avere 3 per divisore essendo di 1 maggiore di P che è multiplo di 3.
P + 1 non può avere 5 per divisore essendo di 1 maggiore di P che è multiplo di 5.
…
P + 1 non può avere N per divisore essendo di 1 maggiore di P che è multiplo di N.

In definitiva i casi sono due:
o P + 1 è un numero primo e allora N non è il più grande dei numeri primi.
o P + 1 ha fattori primi maggiori di N e anche in questo N non è il maggior numero primo.
In ogni caso N non può essere il più grande dei numeri primi, e quindi i numeri primi sono infiniti.

Tra l’altro, la prima ipotesi non è reale se non per N = 2, poiché non esiste alcun numero primo a cui, aggiunto 1, produce un nuovo numero primo (tranne il 2, i restanti sono tutti numeri dispari).

Nella pagina del Video L’enigma dei numeri primi (1 di 8), vi è la dimostrazione video data da Euclide (minuto 7:30)

Da questa dimostrazione, nascono i numeri di Euclide.