Vista la grande discussione sorta dopo la pubblicazione di questo articolo sulla pagina Facebook di 235711, apportiamo qualche piccola modifica, citando le fonti che sostengono il concetto dell’articolo. Chiediamo quindi a tutti coloro che intendono apportare valore alla discussione in modo costruttivo, di lasciare il proprio di commento sulle diverse dimensioni di infinito, alcuni più grandi e alcuni più piccoli.

E’ così? Esistono diversi tipi di infinito, alcuni più grandi e altri più piccoli?

Oppure gli insiemi infiniti hanno tutti la stessa cardinalità?

Alcuni scritti dei più illustri romanzieri matematici affermano che l’infinito non è un concetto unico, astratto e singolare, ma qualcosa che può essere compreso molto di più di quanto si possa pensare, e che ha tra le varie caratteristiche, ha ad esempio anche l’estensione.

Come si legge ad esempio a pagina 118 di 133 del libro Best Seller “L’ultimo teorema di fermat” di Simon Singh:

“L’Hotel Hilbert sembra suggerirci l’idea che tutti gli infiniti hanno grandezza equivalente, perché diversi infiniti sembrano poter alloggiare insieme nello stesso albergo infinito: ossia l’infinito dei numeri pari può essere abbinato e posto in corrispondenza con l’infinito di tutti i numeri naturali. E tuttavia alcuni infiniti sono davvero più grossi di altri. Per esempio ogni tentativo di abbinare ogni numero razionale con ogni numero irrazionale fallisce e infatti si può dimostrare che ogni l’insieme infinito dei numeri irrazionali è più ampio dell’insieme infinito dei numeri razionali.”

O ancora, tratto dal best seller “L’enigma dei numeri primi” di Marcus Du Suatoy (pagina 101 di 386):

“Anche se può sembrare una proposizione stramba, è realmente possibile accostare due insiemi infiniti e dire che uno è più grande dell’altro. Quando Cantor annunciò le sue conclusioni, negli anni Settanta dell’Ottocento, esse furono giudicate quasi blasfeme o, nel migliore dei casi, le farneticazioni di un folle. Per capire come si possano mettere a confronto due infiniti, immaginate una tribù il cui sistema di conteggio si riduca a <<uno, due tre, molti>>. I membri della tribù sono in grado di stabilire chi è il più ricco fra loro pur non potendo valutare l’esatto valore delle ricchezze. Per esempio, se i polli sono il segno della ricchezza di un individuo, due persone non devono far altro che abbinare i propri polli. Chi esaurisce per primo i suoi polli è evidentemente il più povero dei due. Non occorre essere in grado di contare i polli per vedere che un gruppo è più numeroso dell’altro.
Sfruttando questa idea, Cantor dimostrò che se si abbinano tutti i numeri interi con tutte le frazioni (come 1/3, 3/4 , 5/101) è possibile far corrispondere a ogni frazione un numero intero e uno solo. Sembra paradossale, dato che in apparenza le frazioni sono molto più numerose dei numeri interi. E tuttavia Cantor trovò il modo di stabilire una corrispondenza esatta fra i due insiemi, così che nessuna frazione rimaneva priva di un compagno. Cantor formulò anche un’argomentazione ingegnosa per dimostrare che, al contrario, non c’era modo di appaiare tutte le frazioni con tutti i numeri reali, che comprendevano, oltre ai numeri interi e alle frazioni, anche i numeri irrazionali, cioè PI GRECO e RADICE QUADRATA DI 2, e tutti gli altri numeri con un’espansione decimale infinita e non periodica. Cantor dimostrò che ogni tentativo di accoppiare le frazioni con i numeri reali avrebbe lasciato inevitabilmente fuori una parte dei numeri irrazionali. Aveva dimostrato l’esistenza di due insiemi infiniti di dimensioni diverse.”

Questo concetto è espresso in svariati altri trattati matematici, come nel libro Zio Petros e la congettura di Goldbach e altri libri scritti da personaggi più o meno noti.

L’unica obiezione che si potrebbe sollevare a riguardo, è il fatto che per poter valorizzare una dimensione di un oggetto, o di un insieme, debba essere possibile misurarla, e considerando che l’infinito non è misurabile, così come non lo è l’universo, non è possibile scrivere su un foglio:

dimensione1 = x
dimensione2 = y

e quindi la misurazione non sembrerebbe trovare riscontro pratico e quindi indurrebbe a pensare che tale ragionamento sia troppo effimero per essere considerato coerente.

La realtà è che con dei semplici ragionamenti logici come quello di Cantor (che poi così semplici non sono), è possibile dimostrare verità così apparentemente complesse.

Ai passeri l’ardua sentenza…

Euclide

In matematica, i numeri di Euclide sono tutti quei numeri interi della sequenza En = pn# + 1, in cui pn# si definisce “primoriale di pn” (ossia la moltiplicazione di tutti i numeri primi minori di n), che è l’n-esimo numero primo.

Questi numeri furono usati dal matematico greco durante la sua dimostrazione del teorema che afferma che i numeri primi sono infiniti. La sequenza inizia con i numeri 3, 7, 31, 211, 2311, 30031 (*), e prosegue con una lista che si presuppone sia infinita.

Questi numeri fanno parte della sequenza dei numeri di Euclide (codice A006862 nell’archivio dell’OEIS).

Malgrado Euclide morì con l’idea che tutta la sequenza di questi numeri fosse composta da numeri primi, per E6 (30031) è stato calcolato che esso è divisibile per 59 x 509, ed è di fatto il primo dei numeri di Euclide a non essere primo.

Anche alcuni dei successivi non sono primi, ma E11 è nuovamente primo.
È stato ipotizzato, ma non dimostrato, che esista un’infinità di numeri di Euclide che sono anche primi.

Un numero di Euclide non può essere un quadrato. Questa affermazione è basata sul fatto che qualsiasi numero di Euclide è sempre congruente a 3 modulo 4.

Per tutti i numeri maggiori o uguali a 3 l’ultima cifra dei numeri En è 1, poiché En-1 è divisibile per 2 e 5.

Esempi della dimostrazione di Euclide sull’infinità dei numeri primi usando numeri di Euclide:

• Dato N = 7, si ha che 2 x 3 x 5 x 7 (lista dei primi minore di 7) + 1 = 211 che non ha 2, 3, 5, o 7 tra i suoi fattori ed è primo; dunque 7 non è il primo più grande (passo della dimostrazione di Euclide).
• Se N = 11 si ha 2 x 3 x 5 x 7 x 11 + 1 = 2311 che è ancora primo; e 11 non è quindi il primo più grande.
• Se N = 13 si ha 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 = 59*509 che sono due numeri primi entrambi maggiori di 13. 30031 è il primo caso di P + 1 che non è primo.