Comments on: I diversi tipi di infinito. L’infinito più grande e l’Infinito più piccolo?

By: yankies

yankies — Sat, 28 Sep 2013 23:02:17 +0000

un infinito più grande di un’altro infinito ?.
Certo come no allora 5 è più dispari di 3 perchè
5=2+3 da cui è formato da un numero pari 2 e uno dispari 3 , certo poi anche 3 è formato da 2 + 1 ma allora siamo punto a capo no?.
5=2+1+1+1 e basta!.

By: uno studente

uno studente — Mon, 18 Feb 2013 22:31:17 +0000

Temo che poco o niente di ciò che hai scritto sia vero. Se è vero che esistono diversi infiniti, “alcuni più grandi e altri più piccoli”, l’insieme dei numeri naturali, pari, dispari, primi, di tutti gli interi e perfino di tutti i razionali hanno la stessa grandezza: sono tutti infiniti numerabili (vedi qui http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_numerabile ). Non so a quali “trattati matematici” tu ti stia riferendo…
Inoltre non è affatto vero che i “matematici storici” fossero sempre a favore delle trattazioni matematiche dell’infinito; anzi, ci furono notevoli polemiche quando Cantor presentò, alla fine dell’Ottocento, la propria teoria degli insiemi (vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor%27s_theory ). Oggi, tuttavia, la teoria degli insiemi infiniti fa parte della matematica moderna, ed è spesso possibile definire la “dimensione” di un insieme, sia in maniera insiemistica come cardinalità, sia con altri mezzi, in altri contesti.

Probabilmente non avrei dato a questo blog l’attenzione che non si merita, se non fosse per il fatto che mi è capitato di leggere:

“Wikipedia e il resto dei portali che si dichiarano “divulgativi” si comportano in modo snobbistico, poiché se è vero che è corretto utilizzare il simbolo ? per esprimere una sommatoria, è anche vero che in ogni occasione in cui non si stanno affrontando calcoli complessi, sarebbe consigliabile utilizzare la parola “sommatoria” anziché il simbolo sigma ?, permettendo a chiunque legga il testo, di comprendere teoremi che nella maggior parte dei casi sono così semplici da essere potenzialmente compresi da chiunque abbia compiuto gli studi di scuola media, e che invece finiscono per sembrare astruse e lontane verità scientifiche.”

Leggere cose di questo tipo mi dà parecchio fastidio. Wikipedia è una manifestazione di scienza e cultura che non trova precedenti. E’ libera, gratuita, priva di pubblicità e chiunque può contribuire. Il fatto che nelle pagine che parlano di matematica si usino simboli matematici è una normale esigenza linguistica, e non una presunzione. La presunzione è solo di chi rifiuta ciò che non capisce. Wikipedia non è concepita come strumento di divulgazione scientifica, anche se lo può benissimo essere, a favore di chi ha la pazienza e la voglia di imparare; e questo è valido più o meno per qualsiasi mezzo di divulgazione scientifica, alla quale io sono molto favorevole. L’unico impedimento alla divulgazione scientifica è la fatica delle persone a voler apprendere.

Saluti

Emilio

By: Tenzor

Tenzor — Mon, 18 Feb 2013 22:19:29 +0000

“Essa è composta della metà dei numeri della sequenza dei numeri naturali. Ecco quindi che l’infinità dell’insieme dei numeri pari è sicuramente più piccola dell’infinità dei numeri naturali.”

Leggendo queste frasi non posso fare altro che sorridere (se non altro per l’uso dell’avverbio “sicuramente”).

Cosa significa che l’insieme dei numeri pari è composto dalla META’ dei numeri che compongono la sequenza dei numeri naturali?
Questa affermazione è segno di una grande ingenuità. Infinito NON è un numero, e pertanto non è possibile calcolarne sportivamente la metà o il doppio.
Inoltre esiste una quantità che è esattamente uguale alla sua metà (0), ed infinite altre che sono maggiori del loro doppio (ogni numero negativo, ad esempio), quindi non si può affermare che, delle due infinità citate, una sia SICURAMENTE più piccola!

“Questo concetto è dato per assodato e vero in tutti i trattati matematici.”
Purtroppo questa frase è addirittura FALSA!
Infatti già Cantor aveva introdotto la definzione di insiemi equipotenti (che generalizza il concetto intuitivo di “avere lo stesso numero di elementi”).
Secondo Cantor due insiemi sono equipotenti se e solo se esiste una funzione bionivoca fra i due (nota come questa sia in realtà la stessa idea dei pastori che anticamente intagliavano su un bastone una tacca per ogni pecora).
L’insieme dei numeri naturali e quello dei numeri pari sono infatti equipotenti (ad ogni numero naturale corrisponde uno ed un solo numero pari dato dal suo doppio, e dato un numero pari esiste ed è unico quel numero naturale che corrisponde alla sua metà).

Questo potrebbe farti pensare, quindi, che se due insieme sono infiniti, allora essi debbano essere necessariamente equipotenti… beh, nemmeno questo è vero!
Come fece notare Cantor, l’inisieme dei numeri naturali e quello dei numeri reali, ad esempio, non sono equipotenti, ed anzi, l’infinità dei numeri reali è ben più grande di quella dei numeri naturali.