Ho quindi aggiunto, ai miei progetti, il progetto sui numeri primi di Mersenne chiamato  Mersenne@home, ossia il calcolo distribuito che consente di elaborare grandi quantità di informazioni utilizzando i computer di tutti coloro che decidono di mettere a disposizione il proprio pc, portatile o dispositivo, permettendo di distribuire le grandi operazioni da compiere per fattorizzare grandi numeri, su più computer. Un milione di computer personali connessi ad internet, permetterebbero alla centrale di calcolo di fare quello che neanche il supercomputer più potente del mondo potrebbe fare.

Ecco quindi che il calcolo distribuito, oltre ad analizzare sul pc degli internettiani i dati provenienti dal radiotelescopio di Arecibo alla ricerca di alieni, può essere impiegato anche per cercare il prossimo numero primo di Mersenne (attualmente identificato con un numero di oltre 12 milioni di cifre).

Cos’è un numero di Mersenne?

Dal nome dello scopritore, del 15° secolo, i numeri di Mersenne sono numeri primi esprimibili come:

con n intero positivo primo.

I numeri di Mersenne conosciuti ad oggi gennaio 2012 sono 47, e vanno dal numero 2 al quarantasettesimo numero di Mersenne, scoperto il 23 agosto 2008 dal GIMPS, un numero di ben 12978189 cifre, così lungo da essere contenuto in un libro di oltre 300 pagine stampate con caratteri prossimi all’illeggibilità per quanto piccoli.

Teorema A (teorema del coniglio senza testa)

di Fabio Di Matteo – http://235711.org

Talora si usa il termine “teorema” anche per un’affermazione per la quale non si dispone di una dimostrazione interamente soddisfacente, ma solo di una prova che copre una casistica ampia ma non esauriente o di una prova con qualche passaggio poco definito (il termine corretto, nelle teorie formali, è congettura).

Per ogni numero naturale N > 3 esiste almeno una coppia di numeri primi X e Y equidistanti da N e tali che N – X = Y – N.

Rapida visuale applicata del Teorema:
Dato il numero naturale N = 5 esiste la coppia X = 3 e Y = 7 equidistanti da N tali che 5-3 = 7-5

La dimostrazione di questo Teorema, implica la dimostrazione della congettura di Goldbach per la seguente sequenza di nessi logici.

Data la congettura di Goldbach, che afferma che “ogni numero pari > 2 corrisponde alla somma di due numeri primi” è possibile individuare la relazione tra il Teorema A e la Congettura, come di seguito riportato:

Dato N come numero > 2, esiste sempre un numero naturale G, tale che N = G/2. G è un numero pari della congettura di Goldbach che sarà quindi sempre maggiore di 2.

N potrà essere un numero pari o un numero dispari come dagli esempi di seguito riportati:

G = 4    si avrà    N = 2
G = 6    si avrà    N = 3
G = 8    si avrà    N = 4
…

N assumerà, per G (numero pari maggiore di 2) che tende a infinito, tutti i valori della sequenza dei numeri naturali della semiretta ordinata maggiori o uguali a 2:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…

Secondo il Teorema A, ognuno dei numeri naturali N maggiori di 2 ha una coppia di numeri primi equidistanti da N, come dall’esempio seguente:

Per G = 10
esiste N = 5
che ha una coppia di numeri primi X e Y equidistanti da N o convergenti su N
X = 3    e    Y = 7        tali che      5 – X = 2       e        Y – 5 = 2

Chiameremo il valore della distanza (in questo caso 2) con la lettera D.

Per proseguire è necessario avvalersi della seguente regola logica per cui, dato un numero naturale N, si ha che:

(N + Z) + (N – Z) = 2N

quindi impiegando la distanza D come valore Z, e considerando N = G/2, si ha che:

(N + D) + (N – D) = G

Visualizziamo il ragionamento con il seguente esempio:

Dati N = 5 e D = 2 (ricavati dall’esempio di cui sopra), si ha che:
(5 + 2) + (5 – 2) = 10
(7) + (3) = 10

Quindi qualora esista sempre, come afferma il Teorema A, almeno una coppia di numeri primi equidistanti da N per N > 3, ogni numero G (sempre esprimibile come 2N) sarà sempre la somma di due numeri primi.

Osservazioni:

1) l’unità e la convergenza di X e Y su N

Per alcuni numeri G esiste una coppia X e Y che converge su N.

L’esempio è del numero 10, che oltre alla soluzione 7 + 3, offre anche la soluzione 5 + 5. La coppia 5 + 5 nel Teorema A è definita “coppia convergente”, ed è una soluzione ammessa, così come lo è nella congettura di goldbach, per cui per costruire N > 2 = 4 come somma di numeri primi 2 + 2 (l’altra coppia 3 + 1 è esclusa in quanto 1 non è numero primo). Anche la congettura di Goldbach quindi utilizza numeri convergenti (4 = 2 + 2, mentre 6 = 3 + 3)

Se escludiamo le coppie convergenti (escludendole anche nella congettura di Goldbach), per analizzare, secondo il Teorema A, il primo numero della sequenza naturale N >2, si ha quanto segue:

G = 4 (primo numero interessato dalla congetura di Goldbach) quindi N = 2, ammettendo soluzioni per X e Y come segue:

X = 2, Y = 2 (dove 2 è un numero primo, e considerando quindi la possibilità che X e Y siano convergenti su N e che quindi D sia uguale a 0).

oppure, escludendo le coppie convergenti dal Teorema A, il teorema resta sempre valido per la soluzione

X = 1, Y = 3 (assumendo 1 come numero primo).

Tuttavia, considerando limitante, poter utilizzare 1 come mattone fondamentale per la costruzione dei numeri pari > 2, mattone utile tra l’altro solo per sostenere il Teorema A nel caso di G = 4 e G = 6, è preferibile utilizzare, come nella congettura di Goldbach anche le coppie convergenti, mantenendo quindi il Teorema A sempre valido per ogni valore di N, ed escludendo correttamente il numero 1 dalla lista dei primi.

Fabio Di Matteo
Prima stesura 1.0 in data 16-09-2010, Roma
Revisione 1.1 in data 11-09-2011, Roma

L’ho sempre considerata come “una delle prove da fare per vedere meglio i numeri primi dall’alto”, ed è giunto il momento di svilupparla. Ho preferito realizzare l’applicazione in Macromedia Flash, poiché permette a chiunque di visualizzare il risultato qui, online, senza scaricare l’excel, ma soprattutto per motivi di velocità di elaborazione.

Ovviamente il risultato non è una spirale, ma un garbuglio che ricorda vagamente il globo terrestre con i suoi continenti con la distribuzione dei numeri primi ad ogni angolo del percorso.

Ecco qui sotto il risultato; il link per visionare l’applicazione realizzata e l’immagine in grandi dimensioni del risultato finale:

• Clicca qui per vedere Il sentiero dei numeri primi mentre disegna il percorso
• Risultato (immagine png) del percorso dei numeri primi fino a 100.000

Risultato dell'esperimento.

Oggi Google ricorda Pierre De Fermat con un Doodle d’eccezione; quello dell’ultimo teorema di Fermat (da cui il libro L’enigma di Fermat, che racconta la via della risoluzione intrapresa da decine di matematici di tutto il mondo, e conquistata da Andrew Wiles).

Passando con il mouse sull’immagine Google fa comparire il titolo seguente:

“Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, ma questo doodle è troppo piccolo per contenerla.”

A ricordare la frase originale di Pierre De Fermat che accompagnò la stesura del suo ultimo teorema di Fermat, appuntato a penna sul margine di un manoscritto; il volume dell’Arithmetica di Diofanto, con le seguenti parole:

« È impossibile dividere un cubo in altri due cubi, una quarta potenza o in generale una potenza qualsiasi in due potenze dello stesso valore maggiore del secondo. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina »…

Le dimensioni della fiammata sono chiaramente elevate, considerando che la curvatura del sole è ben visibile, ed è quindi raffrontabile alle sue reali dimensioni.

Approfondimento tecnico su come scaricare video da youtube.

2 ^43112609 -1

Spesso, questi numeri sono corredati dalla frase “un numero molto più grande del numero di atomi contenuti in tutto l’universo”.
Ebbene eccocì qui, ad avere una piccola idea della scala di grandezza che descrive il salto fino all’infinitamente grande, e che la capacità di calcolo umana, riesce a superare.

Approfondimento tecnico su come scaricare video da youtube.

Vediamo il significato di questa affermazione in modo più tangibile:

Dato N = 6, esiste la seguente progressione di (6 – 1) numeri primi che inizia con un numero primo A, che si distanziano ciascuno di un valore B (intero positivo) dal precedente.

per N = 6 si ha
A = 5
B = 6
tali che esista una progressione di numeri primi come la seguente:

5, 11, 17, 23, 29.

Alcuni esempi di altre progressioni aritmetiche di numeri primi che abbiamo sempre avuto sotto il naso:
2
2, 3
3, 5, 7
5, 11, 17, 23
5, 11, 17, 23, 29
7, 26, 67, 97, 127, 157
7, 157, 307, 457, 607, 757
…

La dimostrazione di questo teorema ad opera di Ben Green e Terence Tao, consiste in un’estensione del teorema di Szemerédi, che afferma che “Ogni insieme di naturali con densità superiore positiva contiene progressioni
aritmetiche arbitrariamente lunghe“.

La risposta è che non hanno alcun colore. Il motivo è presto detto: qualsiasi sistema di misurazione, sia esso delle frequenze luminose che ai nostri occhi vengono percepite come colori, sia esso il codice esadecimale riportato nell’immagine qui sotto e che nella tipografia contemporanea indica il colore, sono misurate su una scala decimale o esadecimale usata per convenzione sul pianeta terra. Su altri pianeti, il colore potrebbe essere valorizzato su scale numeriche personalizzate. Il numero primo non indica quindi alcun colore.

Tuttavia, per divertimento abbiamo calcolato l’esadecimale di 235711.org, che restituisce un verdino simpatico:

Una rapida spiegazione in Video dell’ultimo teorema di Fermat, che non racchiude direttamente la parola numeri primi, ma nella cui dimostrazione è stato usato il salto tra numeri primi che si applica in particolari contesti. Tra gli enigmi matematici l’ultimo teorema di Fermat è uno degli ultimi misteri della matematica insieme all’ipotesi di Riemann e la Congettura di Goldbach.

Per chi non conoscesse l’ultimo teorema di Fermat (matematico del sedicesimo secolo):

Guardiamo l’equazione

che qui sopra ha soluzioni legate al teorema di pitagora (ossia del triangolo rettangolo), come ad esempio a=3, b=4 e c=5 (9 + 16 = 25).

L’ultimo teorema di Fermat, afferma che l’equazione

xⁿ + yⁿ = zⁿ

non ha soluzioni per l’esponente N maggiore di due.

Il teorema fu dimostrato nel 1993 da Andrew Wiles mediante la dimostrazione della congettura di Goro Shimura (Shimura-Tanayama) basata sulla dimostrazione che tutte le curve ellittiche sono modulari.