Vista la grande discussione sorta dopo la pubblicazione di questo articolo sulla pagina Facebook di 235711, apportiamo qualche piccola modifica, citando le fonti che sostengono il concetto dell’articolo. Chiediamo quindi a tutti coloro che intendono apportare valore alla discussione in modo costruttivo, di lasciare il proprio di commento sulle diverse dimensioni di infinito, alcuni più grandi e alcuni più piccoli.
E’ così? Esistono diversi tipi di infinito, alcuni più grandi e altri più piccoli?
Oppure gli insiemi infiniti hanno tutti la stessa cardinalità?
Alcuni scritti dei più illustri romanzieri matematici affermano che l’infinito non è un concetto unico, astratto e singolare, ma qualcosa che può essere compreso molto di più di quanto si possa pensare, e che ha tra le varie caratteristiche, ha ad esempio anche l’estensione.
Come si legge ad esempio a pagina 118 di 133 del libro Best Seller “L’ultimo teorema di fermat” di Simon Singh:
“L’Hotel Hilbert sembra suggerirci l’idea che tutti gli infiniti hanno grandezza equivalente, perché diversi infiniti sembrano poter alloggiare insieme nello stesso albergo infinito: ossia l’infinito dei numeri pari può essere abbinato e posto in corrispondenza con l’infinito di tutti i numeri naturali. E tuttavia alcuni infiniti sono davvero più grossi di altri. Per esempio ogni tentativo di abbinare ogni numero razionale con ogni numero irrazionale fallisce e infatti si può dimostrare che ogni l’insieme infinito dei numeri irrazionali è più ampio dell’insieme infinito dei numeri razionali.”
O ancora, tratto dal best seller “L’enigma dei numeri primi” di Marcus Du Suatoy (pagina 101 di 386):
“Anche se può sembrare una proposizione stramba, è realmente possibile accostare due insiemi infiniti e dire che uno è più grande dell’altro. Quando Cantor annunciò le sue conclusioni, negli anni Settanta dell’Ottocento, esse furono giudicate quasi blasfeme o, nel migliore dei casi, le farneticazioni di un folle. Per capire come si possano mettere a confronto due infiniti, immaginate una tribù il cui sistema di conteggio si riduca a <<uno, due tre, molti>>. I membri della tribù sono in grado di stabilire chi è il più ricco fra loro pur non potendo valutare l’esatto valore delle ricchezze. Per esempio, se i polli sono il segno della ricchezza di un individuo, due persone non devono far altro che abbinare i propri polli. Chi esaurisce per primo i suoi polli è evidentemente il più povero dei due. Non occorre essere in grado di contare i polli per vedere che un gruppo è più numeroso dell’altro.
Sfruttando questa idea, Cantor dimostrò che se si abbinano tutti i numeri interi con tutte le frazioni (come 1/3, 3/4 , 5/101) è possibile far corrispondere a ogni frazione un numero intero e uno solo. Sembra paradossale, dato che in apparenza le frazioni sono molto più numerose dei numeri interi. E tuttavia Cantor trovò il modo di stabilire una corrispondenza esatta fra i due insiemi, così che nessuna frazione rimaneva priva di un compagno. Cantor formulò anche un’argomentazione ingegnosa per dimostrare che, al contrario, non c’era modo di appaiare tutte le frazioni con tutti i numeri reali, che comprendevano, oltre ai numeri interi e alle frazioni, anche i numeri irrazionali, cioè PI GRECO e RADICE QUADRATA DI 2, e tutti gli altri numeri con un’espansione decimale infinita e non periodica. Cantor dimostrò che ogni tentativo di accoppiare le frazioni con i numeri reali avrebbe lasciato inevitabilmente fuori una parte dei numeri irrazionali. Aveva dimostrato l’esistenza di due insiemi infiniti di dimensioni diverse.”
Questo concetto è espresso in svariati altri trattati matematici, come nel libro Zio Petros e la congettura di Goldbach e altri libri scritti da personaggi più o meno noti.
L’unica obiezione che si potrebbe sollevare a riguardo, è il fatto che per poter valorizzare una dimensione di un oggetto, o di un insieme, debba essere possibile misurarla, e considerando che l’infinito non è misurabile, così come non lo è l’universo, non è possibile scrivere su un foglio:
dimensione1 = x
dimensione2 = y
e quindi la misurazione non sembrerebbe trovare riscontro pratico e quindi indurrebbe a pensare che tale ragionamento sia troppo effimero per essere considerato coerente.
La realtà è che con dei semplici ragionamenti logici come quello di Cantor (che poi così semplici non sono), è possibile dimostrare verità così apparentemente complesse.
Ai passeri l’ardua sentenza… 
“Essa è composta della metà dei numeri della sequenza dei numeri naturali. Ecco quindi che l’infinità dell’insieme dei numeri pari è sicuramente più piccola dell’infinità dei numeri naturali.”
Leggendo queste frasi non posso fare altro che sorridere (se non altro per l’uso dell’avverbio “sicuramente”).
Cosa significa che l’insieme dei numeri pari è composto dalla META’ dei numeri che compongono la sequenza dei numeri naturali?
Questa affermazione è segno di una grande ingenuità. Infinito NON è un numero, e pertanto non è possibile calcolarne sportivamente la metà o il doppio.
Inoltre esiste una quantità che è esattamente uguale alla sua metà (0), ed infinite altre che sono maggiori del loro doppio (ogni numero negativo, ad esempio), quindi non si può affermare che, delle due infinità citate, una sia SICURAMENTE più piccola!
“Questo concetto è dato per assodato e vero in tutti i trattati matematici.”
Purtroppo questa frase è addirittura FALSA!
Infatti già Cantor aveva introdotto la definzione di insiemi equipotenti (che generalizza il concetto intuitivo di “avere lo stesso numero di elementi”).
Secondo Cantor due insiemi sono equipotenti se e solo se esiste una funzione bionivoca fra i due (nota come questa sia in realtà la stessa idea dei pastori che anticamente intagliavano su un bastone una tacca per ogni pecora).
L’insieme dei numeri naturali e quello dei numeri pari sono infatti equipotenti (ad ogni numero naturale corrisponde uno ed un solo numero pari dato dal suo doppio, e dato un numero pari esiste ed è unico quel numero naturale che corrisponde alla sua metà).
Questo potrebbe farti pensare, quindi, che se due insieme sono infiniti, allora essi debbano essere necessariamente equipotenti… beh, nemmeno questo è vero!
Come fece notare Cantor, l’inisieme dei numeri naturali e quello dei numeri reali, ad esempio, non sono equipotenti, ed anzi, l’infinità dei numeri reali è ben più grande di quella dei numeri naturali.
Temo che poco o niente di ciò che hai scritto sia vero. Se è vero che esistono diversi infiniti, “alcuni più grandi e altri più piccoli”, l’insieme dei numeri naturali, pari, dispari, primi, di tutti gli interi e perfino di tutti i razionali hanno la stessa grandezza: sono tutti infiniti numerabili (vedi qui http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_numerabile ). Non so a quali “trattati matematici” tu ti stia riferendo…
Inoltre non è affatto vero che i “matematici storici” fossero sempre a favore delle trattazioni matematiche dell’infinito; anzi, ci furono notevoli polemiche quando Cantor presentò, alla fine dell’Ottocento, la propria teoria degli insiemi (vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor%27s_theory ). Oggi, tuttavia, la teoria degli insiemi infiniti fa parte della matematica moderna, ed è spesso possibile definire la “dimensione” di un insieme, sia in maniera insiemistica come cardinalità, sia con altri mezzi, in altri contesti.
Probabilmente non avrei dato a questo blog l’attenzione che non si merita, se non fosse per il fatto che mi è capitato di leggere:
“Wikipedia e il resto dei portali che si dichiarano “divulgativi” si comportano in modo snobbistico, poiché se è vero che è corretto utilizzare il simbolo ? per esprimere una sommatoria, è anche vero che in ogni occasione in cui non si stanno affrontando calcoli complessi, sarebbe consigliabile utilizzare la parola “sommatoria” anziché il simbolo sigma ?, permettendo a chiunque legga il testo, di comprendere teoremi che nella maggior parte dei casi sono così semplici da essere potenzialmente compresi da chiunque abbia compiuto gli studi di scuola media, e che invece finiscono per sembrare astruse e lontane verità scientifiche.”
Leggere cose di questo tipo mi dà parecchio fastidio. Wikipedia è una manifestazione di scienza e cultura che non trova precedenti. E’ libera, gratuita, priva di pubblicità e chiunque può contribuire. Il fatto che nelle pagine che parlano di matematica si usino simboli matematici è una normale esigenza linguistica, e non una presunzione. La presunzione è solo di chi rifiuta ciò che non capisce. Wikipedia non è concepita come strumento di divulgazione scientifica, anche se lo può benissimo essere, a favore di chi ha la pazienza e la voglia di imparare; e questo è valido più o meno per qualsiasi mezzo di divulgazione scientifica, alla quale io sono molto favorevole. L’unico impedimento alla divulgazione scientifica è la fatica delle persone a voler apprendere.
Saluti
Emilio
un infinito più grande di un’altro infinito ?.
Certo come no allora 5 è più dispari di 3 perchè
5=2+3 da cui è formato da un numero pari 2 e uno dispari 3 , certo poi anche 3 è formato da 2 + 1 ma allora siamo punto a capo no?.
5=2+1+1+1 e basta!.