Euclide

In matematica, i numeri di Euclide sono tutti quei numeri interi della sequenza En = pn# + 1, in cui pn# si definisce “primoriale di pn” (ossia la moltiplicazione di tutti i numeri primi minori di n), che è l’n-esimo numero primo.

Questi numeri furono usati dal matematico greco durante la sua dimostrazione del teorema che afferma che i numeri primi sono infiniti. La sequenza inizia con i numeri 3, 7, 31, 211, 2311, 30031 (*), e prosegue con una lista che si presuppone sia infinita.

Questi numeri fanno parte della sequenza dei numeri di Euclide (codice A006862 nell’archivio dell’OEIS).

Malgrado Euclide morì con l’idea che tutta la sequenza di questi numeri fosse composta da numeri primi, per E6 (30031) è stato calcolato che esso è divisibile per 59 x 509, ed è di fatto il primo dei numeri di Euclide a non essere primo.

Anche alcuni dei successivi non sono primi, ma E11 è nuovamente primo.
È stato ipotizzato, ma non dimostrato, che esista un’infinità di numeri di Euclide che sono anche primi.

Un numero di Euclide non può essere un quadrato. Questa affermazione è basata sul fatto che qualsiasi numero di Euclide è sempre congruente a 3 modulo 4.

Per tutti i numeri maggiori o uguali a 3 l’ultima cifra dei numeri En è 1, poiché En-1 è divisibile per 2 e 5.

Esempi della dimostrazione di Euclide sull’infinità dei numeri primi usando numeri di Euclide:

• Dato N = 7, si ha che 2 x 3 x 5 x 7 (lista dei primi minore di 7) + 1 = 211 che non ha 2, 3, 5, o 7 tra i suoi fattori ed è primo; dunque 7 non è il primo più grande (passo della dimostrazione di Euclide).
• Se N = 11 si ha 2 x 3 x 5 x 7 x 11 + 1 = 2311 che è ancora primo; e 11 non è quindi il primo più grande.
• Se N = 13 si ha 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 = 59*509 che sono due numeri primi entrambi maggiori di 13. 30031 è il primo caso di P + 1 che non è primo.